芝诺悖论乌龟芝诺悖论乌龟错在哪里-聚上美

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谈一下阿基里斯与乌龟拜托各位大神 【阿基里斯悖论内容】公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他10米…… 芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。关于阿基里斯悖论的另一个解释是：阿基里斯的确永远也追不上乌龟。因为当阿基里斯遵循乌龟的轨迹的时候，会不由自主的慢下来，以跟随着乌龟的节奏前进。【推翻阿基里斯悖论】其实，我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了 1000（1+0.1+0.01+…………）=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。人们认为数列1+0.1+0.01+…………是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t（1+0.1+0.01+…………）= t (1+1/9)=10t/9 芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。人们被距离数列1+0.1+0.01+…………好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有考虑到时间数列1+0.1+0.01+…………是很容易达到和超过的了。但是不是所有的数列都能达到，所以，我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线，对于点的个数来说，我们就永远无法穷尽它。【“芝诺悖论”错在哪里?】芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。阿基里斯悖论的哲学辨析阿基里斯悖论分离了运动与静止，把运动绝对化，否定客观标准。是相对主义诡辩论。黑格尔在《小逻辑》中说：“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物，把本身片面的、抽象的规定，认为是可靠的。”辩证唯物主义认为，运动与静止是对立统一的辩证关系。一方面，运动与静止的对立表现在：运动是绝对的，静止是相对的，二者相互区别，不可混淆。所谓运动是绝对的是说，运动是物质的根本属性，任何事物在任何条件下都是永恒运动的，是无条件的。所谓静止是相对的是说，静止是运动在特定条件下的特殊状态，是有条件的。另一方面，运动与静止的统一表现在：运动和静止是相互依存、相互贯通的，即所谓动中有静、静中有动。在运动与静止关系上有两种形而上学的错误：一种是割裂运动与静止的关系，否认运动，只讲静止，将静止绝对化的形而上学不动论；一种是割裂运动与静止的关系，只讲运动，否认静止的形而上学相对主义和诡辩论。
一个令人困惑的悖论，你明知它是错的，但却很难反驳

古希腊数学家、哲学家芝诺（Zeno）曾经提出不少的与运动有关的悖论，其中的“芝诺龟”被称为物理学的“四大神兽”之一，到底是怎么回事呢？我们先来了解一下。

芝诺

阿基利斯是一位古希腊神话中的人物，被称为“特洛伊战争”中最强、最勇敢的战士，传说他武力惊人，速度更是快如疾风。然而在芝诺提出的悖论中，这位传奇人物居然永远都追不上一只慢吞吞的乌龟（即“芝诺龟”）。

这个悖论的设定是，1、阿基利斯比“芝诺龟”跑得快得多；2、当“芝诺龟”跑出一段距离后，阿基利斯才开始追。根据我们的常识来说，在这种设定下，阿基利斯必定会追上“芝诺龟”，但芝诺却不这么认为。

如上图所示，假设“芝诺龟”跑到了B点后，阿基利斯才开始追，当阿基利斯追到B点时，“芝诺龟”又向前跑了一段距离，到达了更远的C点（注意这时阿基利斯并没有追上“芝诺龟”），同样的，当阿基利斯追到C点时，“芝诺龟”又前进到了D点，当阿基利斯追到C点时，“芝诺龟”又前进到了E点……

就这样，虽然阿基利斯和“芝诺龟”之间的距离在不断地减小，但是因为“芝诺龟”在不断地前进，所以在每次阿基利斯追到“芝诺龟”上一个落脚点的时候，“芝诺龟”所在的位置总是会在这个落脚点的前面一点，因此可以说，阿基利斯永远都追不上“芝诺龟”。

如果你仔细做一下这个思想实验，你就会发现“芝诺龟”是一个令人困惑的悖论，你明知它是错的，但却很难反驳。也许你会认为，只需要随便做一个实验，就可以反驳这个悖论，但显而易见的是，芝诺本人肯定也是知道现场实验结果的，而“芝诺龟”之所以被称为悖论，正是因为理论上的结果和实验的结果不一致。

因此我们必须要在理论上来反驳“芝诺龟”才行，比如说利用量子理论就可以证明“芝诺龟”是错误的，量子理论认为，时间和空间并不是可以无限拆分的，它有一个极限值，即普朗克时间（10^-43 秒）以及普朗克长度（1.6 x 10^-35 米）。

我们可以据此得出，在阿基利斯和“芝诺龟”赛跑的过程中，当他们之间的距离达到了普朗克长度，或者阿基利斯跨越这个距离所用的时间达到了普朗克时间的时候，阿基利斯在下一个普朗克时间就会追上“芝诺龟”。除此之外，利用高等数学同样也可以证明“芝诺龟”是错误的，这里略过不提（主要是这玩意儿太烧脑）。

但芝诺所处的时代并没有量子理论和高等数学，也就是说，我们似乎应该用更加简单的方式来反驳“芝诺龟”，那么应该怎么来做呢？其实还是有办法的，下面我们就来捋一捋。

先假设阿基利斯的速度为每秒钟11米，“芝诺龟”的速度为每秒钟1米（注：正常的乌龟是爬不出这个速度的，不过“芝诺龟”既然被称为物理学的“四大神兽”之一，那么它能爬出如此高速也可以算是正常的），然后再假设当阿基利斯开始追的时候，“芝诺龟”与他之间的距离是10米。

根据以上设定，我们通过一个简单的公式 t = L/(v1 + v2）就可以轻易地计算出，阿基利斯只需要用1秒的时间就可以追上“芝诺龟”。但芝诺却是这样计算的：当阿基利斯跑到第一个点的时候，他用了10/11秒的时间，跑到第二个点的时候，他又用了10/11^2，也就是10/121秒的时间，跑到第三个点的时候，他又用了10/11^3，也就是10/1331秒的时间，其他的以此类推。