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量子力学应该从何学起？ 看你的水平了。如果你不是物理专业的，那就从微积分和线性代数学起。微积分不学没办法学物理。最基本的数学工具。线性代数是狄拉克矩阵力学的数学工具。广泛用到，尤其是线性空间和特征值的概念。也许数理方程会用得到，尤其是在解氢原子的时候。物理方面：需要学一下普通力学。如果不懂牛顿三定律就想学量子力学就像不会爬就像跑一样。一些经典力学的知识是必要的。你需要对哈密顿力学和拉格朗日力学比较懂。如果涉及到电磁场中的粒子运动问题，你还要学一下电磁学，电动力学。
快速入门量子力学，看这篇就够啦！

原创： Marianne 中科院物理所

作者：Marianne Freiberger
翻译：可乐不加冰
审校：Aprilis

如果问20世纪物理学最伟大的成就有哪些，量子力学可以毫无争议地进入榜单。然而，它反直觉的结论和晦涩的数学表达使得人们对它望而生畏。

著名物理学家理查德·费曼曾经说过：“我想我可以肯定地说，没人真正理解量子力学。”今天，笔者将从一个比较浅显的角度，带大家走进量子力学的大门，了解一些量子力学的基本概念和结论。

理查德·费曼

说起量子力学，不得不提波动力学的创始人薛定谔。在法国物理学家德布罗意物质波理论的基础上，薛定谔创立了波动力学理论。它和海森堡的矩阵力学等价，是量子力学的两种表现形式。

1905年，爱因斯坦曾经提出光在某些情况下也可以表现得和粒子一样，而在其它情况下则依然表现出波动性，这就是光的波粒二象性。受此启发，德布罗意认为，其它常见的粒子，如电子、原子、分子等也可以表现出波粒二象性，它们对应的波被称作物质波。

我们都知道，一般的机械波或者电磁波，都可以用数学来描述。我们用一个波动方程来描述某个波在空间和时间上的变化，而这个方程的解——波函数，则表示了每个时刻波的形状。

一个常见的机械波

如果德布罗意的预言是正确的，那么对于那些物质波，也应该有相应的波动方程与之对应。薛定谔就提出了这样的一个波动方程，也就是大名鼎鼎的薛定谔方程。

薛定谔方程

这个方程和普通的波动方程不大一样。你可能会问薛定谔是如何提出这个方程的，但费曼却认为这个问题是徒劳的：“我们可以从哪里得到薛定谔方程？不可能从你知道的任何东西中得到它。它来源于薛定谔的思想。”

薛定谔方程的解被称为波函数，它可以告诉我们关于正在考察的量子体系的一切。但是这个“一切”究竟包括什么？

举个例子，我们假设有一个粒子在一个封闭的盒子里运动，在给定的边界条件下求解这个系统的薛定谔方程，得到相应的波函数，这个波函数并没有告诉我们这个粒子在某个时间点所处的确切位置。当然，这并不奇怪，因为粒子也具有波动性，要说一个波存在于某一个确定的点、有一个确定的轨迹显然是不可能的。

那么这个波函数是描述出了一个波的形状吗？就像我们求解绳子上的波动方程可以知道每一刻绳子的形状一样？答案显然也并非如此。还是那句话，粒子具有波粒二象性，并不是纯粹的波动性。

那么这里究竟是怎么回事？

氢原子电子的波函数和不同轨道的概率密度分布图

在我们继续往下讨论之前，请允许我向你保证，薛定谔方程绝对是历史上最成功的方程之一。它的预演已经得到了很多次的验证。所以尽管它看上去是那么的奇怪和陌生，人们依然承认它的正确性。

回到我们刚刚讨论的波函数，在任一时刻t，盒子内的任一位置x，波函数给你的是一个确定的数值，而且这个数通常是复数。这个数究竟意味着什么？1926年，物理学家马克斯·玻恩给出了解释：这个复数的模的平方，代表了t时刻你在x这点找到这个粒子的概率密度。

为什么会是概率？因为它是一个微观粒子，而不是一个宏观的台球，不遵循经典的物理定律，它的运动没有确定的轨迹。当我们打开盒子观测时，我们一定会在某一个点找到它，但我们无法预测这个点究竟在哪里，我们能知道的仅仅只有概率。

这便是量子力学第一个反直觉的结论：在这个世界的微观层面，并不像宏观层面那般“确定一定以及肯定”。

第二个反直觉的结论紧接着就来了。刚刚我们还说，如果打开盒子观察，我们总能在某个点找到那个粒子。那如果我们不打开盒子呢？这个粒子在哪里？答案就是这个粒子在波函数允许它存在的盒子里的任何地方。

薛定谔和他那只最著名的“薛定谔的猫”

这并不是一个天方夜谭的脑洞，这个结论依然可以从薛定谔方程中得到。

假设你已经找到了一个波函数，它是这个薛定谔方程的解，并且描述了这个粒子可能存在于盒子中的某些位置。现在可能还有另一个波函数，它也是这个薛定谔方程的解，但它描述了这个粒子可能存在于盒子的其它位置。

如果你把这两个波函数做线性的叠加，你会发现叠加后的新波函数也是这个方程的解。这表示从某种意义上来说，这个粒子可能同时存在于这两个波函数所描述的位置——这就是所谓的量子叠加态。

当然，在现实中，但凡我们打开盒子观察，粒子只会在一个位置出现，叠加态会消失，没有人能同时在几个地方看到同一个粒子。为什么所谓的观察或是测量会导致叠加态的消失呢？这个问题至今还没有答案。

有人认为波函数在观察中通过某种机制坍缩到了某一个特定的状态，还有人认为现实世界在测量的那一刻分裂成了不同的分支，测量者只能看到众多可能的结果之一。总而言之，这个问题现在还没有定论。

从薛定谔方程中可以得到的结论不止于此。

另一个著名的结论就是海森堡不确定性原理。这个原理告诉我们，你永远不能同时测准一个粒子的位置和动量。

海森堡不确定性原理

如果你位置测量得越精确，那么动量的误差范围就越大；如果你动量测量得越精确，那么位置的误差范围就越大。两者不确定度的乘积一定会大于某个确定的值。这并不是你测量工具不够先进导致了，这是量子力学薛定谔方程的必然结果。

除了位置和动量，时间和能量也是不能被同时精确测量的。这表示当时间的测量精度足够高时，能量将有很大很大的不确定范围，这便允许粒子在很短的时间内有一个很高的能量涨落，从而越过一些原本不能越过的势垒，实现隧穿，而这个能量似乎没有任何来源，看上去与经典的能量守恒相违背（事实上并不违背，感兴趣的读者可以自行查阅相关文献）。

除了最简单的单粒子系统，波函数还可以描述多粒子的体系。在这种情况下，波函数还能表现出一个奇异的性质——量子纠缠。

当多粒子体系的波函数不能分解为多个单粒子波函数的简单叠加时，粒子间会发生纠缠，一个粒子的状态改变会导致其它粒子的状态也随之改变，这种改变不受时间和空间的限制，被爱因斯坦称为“幽灵般的超距作用”。利用这种特性，量子保密通信成为了可能。

当然，量子力学的内容远远不止这些，上面提到的概念仅仅是冰山一角。想要系统的学习量子力学，还是需要借助数学的工具。本文只是简单介绍了量子力学中一些最基本的内容，帮助大家构建起关于量子力学的一个最基本的图像。不知道在笔者啰嗦这么多之后，你对量子力学的概念是更清楚了呢，还是更糊涂了呢？

原文链接：

https://plus.maths.org/content/ridiculously-brief-introduction-quantum-mechanics

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