女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

欧几里得变换几何学和群论的基本方面的碰撞，使对称群成为很好的研究对象，但也有一些非数学的好处，使其研究特别有吸引力。分析一个重复的设计，看看是什么让它 "有效"，并利用支配这些设计的数学 "法则 "的力量来创造原创设计，这是研究这些群的一个强烈的非数学动机。(突然间，"对称性"这个词有了真正的双重含义；其艺术和数学的内涵都被视为不可分割的）。初级晶体学的基础知识也是该理论的一部分，这也是另一个好处。

了解这些群的一个非常具体的动机是有机会学习荷兰艺术家埃舍尔 (1898-1972)富有想象力的连锁图案的例子。他的工作也许是理解这些群所获得的力量的最具体的证明。他花了几年的时间来制作图案联锁设计。当他意识到这些类型的设计受一组等距图支配时，他研究了现有的数学文献。查看埃舍尔的手稿，可以发现他完全复制了G. Polya [18]概述了每个群的重要属性，并包括一个说明性设计的图表。(这个图表也转载于[12]，第78页。)埃舍尔写道，对他来说，这种视觉信息比书面文字更重要。埃舍尔另一个丰富的视觉信息来源是在西班牙格拉纳达阿尔罕布拉宫的摩尔瓷砖图案中发现的。他参观了这个地方，并在素描本上仔细记录了许多这些周期性的几何图案。在他消化了这些信息(并最终设计出自己的系统)后，他制作的设计对无辜的观众来说是惊人的复杂，甚至令人难以置信。

关于平面对称群的现有文献是分散的，而且往往不完整。确实存在关于饰带群的良好描述（[1], [4], [5], [6], [11], [20]）。然而，从各种来源收集关于 "墙纸群"的完整和连贯的信息可能并不令人满意，因为术语并不标准，而且对这些组使用了几种不同的符号。此外，还经常发生一个错误--其中两个群的符号在几个来源中被替换了。

本文试图以紧凑的形式提供信息来纠正这些问题，此外，还为平面对称群文献的读者提供有用的视觉参考。所用的资料来源在参考文献中列出。许多其他书籍和文章包含了关于这个主题的信息；下面的评论也涉及到这些。

术语。周期图案的分类。阅读平面对称群上各种来源的部分困难在于作者使用的术语的不同。不仅使用不同的术语来标识相同的对象，而且有时使用相同的术语来标识不同的对象。在本节中，我们将定义本演示文稿中使用的术语，并指出其他一些常用术语。在使用任何来源时，读者都应该特别小心地确定作者使用的术语的定义。

平面中的“周期性”或“重复”图案是具有以下性质的设计:存在有限区域和两个线性独立的平移，使得该区域的所有图像的集合在由这些平移产生的组的作用下产生原始设计。此外(尽管很少明确说明)，假设有一个最小长度的平移向量将图案映射到自身。这将条纹图案排除在周期性之外。

周期图案的平移群是将图案映射到自身的所有平移的集合。具有如下性质的平面的最小区域称为图案的一个单元：该平面在该平移群下的像的集合覆盖该平面。所有的单位都有相同的面积，但是它们的轮廓可以有无限的变化。它们就像瓷砖一样，都是一样的，填满了平面，没有缝隙，也没有重叠，而且是平行排列的。一些周期性设计将单元的部分或全部边界作为设计的一部分；其他则抑制这个轮廓，人们只能看到空白背景下重复的图形。例如，在埃舍尔狮子的设计中，4只互锁的狮子，每只都面向不同的方向，形成了图案的一个单元。

埃舍尔的两幅周期性绘画对比了他早期重复设计的努力和他后期高超的技巧。日期为“1926年或1927年”的狮子图案是在他开发出一套系统之前完成的，这套系统是他研究数学文章和阿尔罕布拉宫周期性设计的结果。虫子的图案可以追溯到1942年，在埃舍尔在笔记本上记录了他的编码系统一年后。

每一个周期图案都自然地与一个点阵联系在一起；选择图案中的任意一点，当被图案的平移群作用时，该点阵是该点的所有图像的集合。格单元是这样一种单元，它是一个顶点是格点的平行四边形。构成格单元边的向量产生了图案的平移群。(晶体学家用原始晶格这个术语来表示晶格单位；一些作者使用术语单位晶格。)

除了平移之外，周期性图案也可以通过任何其他平面等距映射到其自身上：旋转、反射或滑移反射。图案的对称群是将图案映射到自身的所有等距的集合。根据它们的对称群对周期图案的分类是晶体学家用来对晶体进行分类的系统的二维对应物。因此，这些群也被称为二维晶体群。

周期性图案的对称群必然将与该图案相关的晶格映射到自身。由于图案的旋转中心通过平移映射到新的旋转中心（具有相同的阶数），因此只有阶数为2、3、4或6的旋转可以作为周期性设计出现。(如果一个图案没有旋转对称性，但反射或滑移反射在其对称群中，那么晶格必须有相互成直角的平行行。这些限制意味着有五种不同类型的格子可以作为平面对称组的最一般的格子出现。对于每一种格子类型，都有约定俗成的格子单元来进行分类。图1显示了这5种类型的格子，以及每一种类型的晶格单元。

周期平面图案的晶格

图表1：勾勒出的晶格单位是结晶学家为分类而选择的晶格单位。包含2个单元的“居中单元”在菱形网格上显示为虚线轮廓。

通过对这五种晶格类型中每一种可能的等距关系的讨论，可以看出存在17个不同的平面对称群。在图表2中，我们为每组显示了一个点阵单位以及该组中对称元素相对于该点阵单位的位置(即旋转中心、反射轴和滑移反射)。这是对国际X射线结晶学表格[13]中使用的象征手法的改编。每张图下面都有该组的晶体名称或符号，既有简短的，也有完整的。在[13]中可以找到对这个符号的完整解释，但是在数学文献中是缺乏的，所以把它包括在这里可能是有帮助的。

图表2：符号标识了17个二维晶格组。首先给出简短形式，完整符号在括号中。

晶体学符号由四个符号组成，用于识别传统上选择的 "晶格"、最高旋转阶数和其他基本对称性。通常，一个 "原始晶格"（一个晶格单元）被选择，最高旋转阶数的中心在顶点。在两种情况下，一个 "居中单元"被选择，这样反射轴就会在单元的一侧或两侧成为法线。单元的 "X轴 "是单元的左边缘（指向下方的矢量）。完整的国际符号（从左到右阅读）的解释如下。(1）字母p或c表示原始或居中的单元；（2）整数n表示旋转的最高阶数；（3）符号表示与x轴成法线的对称轴：m（镜面）表示反射轴，g表示没有反射，但有滑移反射轴，1表示没有对称轴；（4）符号表示与x轴成a角的对称轴，a取决于n，旋转的最高阶数：n=1或2时a=180°，a=45° 对于n=4，a=60°对于n=3或6；符号m,g,1的解释与（3）相同。在第三和第四位上没有符号表示该组不包含反射或滑移反射。你在图2的图表中看到的许多对称轴是由平移或旋转与国际符号的第三和第四位置所表示的对称性相结合的结果。除了p3m1和p31m的情况外，四位符号可以缩短而不失去识别性，缩短后的符号形式是最常用的。

周期性图案的识别和分类可以很有趣；事实上，一旦你开始寻找它们，你就会意识到我们是如何被这些装饰性的设计所包围。(对那些从事这种消遣的人有一个小小的警告。当你盯着一个陌生人的印花裙或紧盯着地毯上的图案时，你可能会发现自己成为好奇的目光的对象！) 要将一个周期性的设计归为17种类型之一，没有必要获得图2中的所有信息。图3提供了一个用于识别图案的清单。这是作者和学生多次尝试的结果，目的是将区分图案所需的信息减少到最低限度。设计之间的必要信息。利用这一点，你可以将任何设计按照其对称性组别进行分类。例如，埃舍尔的狮子设计只有2倍的旋转（以爪子相接处为中心），并且有滑移反射，但没有反射；因此它是pgg类型。读者应该给虫子的设计分配正确的图案类型。

平面周期图案的识别

图表3：旋转360/n的角度称为n阶。如果滑移反射的分量平移和反射不是图案的对称性，则它是非平凡的。

除了墙纸、瓷砖、地板覆盖物和织物的图案书之外，装饰艺术的收藏也提供了丰富的图案来源。埃舍尔的设计[15]是分析图案的一个令人愉快的来源，它包含了C.H.MacGillavry的评论，他是一位晶体学家，旨在帮助初学者发现图案的对称性。在书目中还出现了另外三本目前正在印刷的差异很大的合集。[2], [10], [14]. 期刊文章[8]、[9]、[19]也值得关注。博物馆藏品中经常有各种各样的重复图案来源，这证明了它们作为装饰艺术的永恒性和普遍性。见约翰·尼曼和简·诺曼的文章《数学与伊斯兰艺术》，第489-490页。

我们在图表4中提供了有代表性的图案，以测试读者识别与17个群相关的各种类型设计的能力。对于这些图案中的每一个，一个有指导意义的练习是找到图表2中所示类型的格子单元。(提示：首先寻找该图案的最高阶旋转中心；然后寻找反射轴或滑移反射轴）。

图表4：除pm、p3、pg外，所有设计均在[10]中找到。p3和pg的设计是基于这本书中发现的中国格子设计元素；pm的设计是基于来自三文治群岛的编织模式，在[14]中找到。

群生成器。周期性图案的创建。为一个群寻找生成器是一项标准任务。然而，在平面对称群的情况下，它不仅仅具有代数上的重要性。不仅几个等距图会产生周期性设计的对称群，而且作用于设计的一小部分的相同等距图会产生该区域的复制品，并产生整个平面覆盖设计。我们称周期模式的生成区域为平面上最小的区域，其在该模式的完全对称群下的像覆盖该平面。(晶体学家使用术语不对称单元来表示生成区域；一些数学家使用基本区域或基本定义域这个术语。)生成区域的面积将总是一个单位的有理部分，并且与单位一样，一个图案的所有生成区域将具有相同的面积，即使它们的轮廓可以有很大的不同。在埃舍尔设计的狮子中，一只狮子是一个生成区域。通常术语motif用于表示设计的最小部分，当受到设计的对称群的作用时，其产生整个周期设计；在这种用法中，图案是一种可以位于生成区域内的符号。

对于这些群的代数（和几何）分析，一组最小的生成器是最理想的选择。然而，如果我们希望使用一组生成器通过让它作用于生成区域来创造一个设计，那么选择不同的生成器可能更适合这项任务。在图5中，我们显示了每组的两组生成器以及它们相对于包含图案生成区域的网格单元的位置。最小生成器集的选择来自于[6，表1]（其他最小生成器集在[11，第40页]中指出）。对于每个组，给出的第二组生成器包括形成格子单元边的平移向量。这些生成器可能是制作瓷砖或用手或电脑打印图案的首选。所示的旋转、反射或滑移反射用生成区域的图像填满了一个单元；然后平移重复这个单元以覆盖平面。(前12种类型填写的是一个晶格单元；后5种类型填写的是一个正六边形的单元。)

平面对称群生成器

图表5：对于每一组，相对于包含阴影生成区域的晶格单元，有两组生成器被标出。一组最小的生成器显示在左边，而一组包括格子单元平移向量的生成器则显示在右边。

由于类型p3m1和p31m的模式经常被混淆，我们在图1中演示了如何使用图5，方法是创建由相同主题生成的每种类型的模式。在每种情况下，我们都从一个“曲棍球棒”主题开始，放置在每种图案类型的阴影生成区域中，其端点位于三倍旋转的中心。然后，按照图5所示的顺序，通过由图5所示的等距线作用于生成区来产生每个图案。

从视觉上看，图1中两个图案的差异是惊人的——没有可能把一个图案误认为另一个。当同一个图案（适当地放在生成区域）被每个对称组作用时，显示17个图案中的每一个图案的图表，提供了它们差异的清晰的视觉演示。这样的图表可以在[41，[5]，[111，[171，[20]中找到。(注意下一节关于p3m1和p31m的评论）。

图1.生成类型为p3m1和p31m的图案，以相同的主题开始。请注意，在完成的p31m模式中，“自然”生成区域是箭头形瓷砖的一半，而“自然”单元是3个这些互锁的瓷砖，其轮廓看起来像转子。

群的记号。p3m1和p31m的互换。二维晶体学群的分类历史可以追溯到19世纪末。[7]和[11]都对这一历史作了简要说明。对早期文献的广泛讨论和比较见于[3]。许多数学家为群产生了不同的符号，而且符号的多样性仍在继续，甚至在过去20年内出版的书中也是如此。因此，如果没有一些符号的对照表，就很难阅读这些文献。国际晶体学联盟在1952年采用的符号是最广泛使用的，在编制我们的符号对照表（图6）时，它被用作 "标准"。

图表6：表中提及的来源在参考文献中列出。这些组是按照它们在国际X射线晶体学表格中出现的顺序列出的[13]。请注意，Speiser互换了C3v '和C3Jv的Niggli符号(Speiser列中的数字是他的书的第二、第三和第四版)。

在这张图表的制作过程中，很明显，文献中两组p3m1和p31m的符号经常互换，因此不能假设其他交叉引用图表是准确的。这种交换最早出现在斯皮塞的书[21]中。他使用了Niggli的论文符号，[16]，但将Niggli的符号互换为这两组。由于很自然地假设这些符号是相同的，所以我们在图表中包含了来自这两个来源的信息。包括这种符号互换的其他书籍有：Bell and Fletcher[1]、Budden[4]、Coxeter[6]和Coxeter and Moser[7]。这很有可能是在提到这些来源的其他作品中延续下来的。(如果左栏p31m和p3m1互换，则[7]中的对照表3是正确的。)。

如果理解了前面解释的晶体学符号的解释，那么总是有可能为周期设计的对称群确定正确的名称。这一点，加上这里提供的其他信息，应该能够使读者对文献中不准确的识别做出任何必要的更正。

参考文献

1. Alan Bell and Trevor Fletcher, Symmetry Groups, Mathematics Teaching Pamphlet No. 12, Assoc. Teachers of Math., England, 1964.

2., J. Bourgoin, Arabic Geometrical Pattern and Design, Dover, New York, 1973. (Reproduction of plates of Les Elements de l'art arabe: le trait des entrelacs, Firmin-Didot, Paris, 1879.)

3. A. Day Bradley, The Geometry of Repeating Design and Geometry of Design for High Schools, Contributions to Education No. 549, Teacher's College, Columbia University, New York, 1933.

4. F. J. Budden, The Fascination of Groups, Cambridge University Press, New York, 1972.

5. J. H. Cadwell, Topics in Recreational Mathematics, Cambridge University Press, New York, 1966.

6. H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, New York, 1961, 1969.

7. H. S. M. Coxeter and W. 0. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups, Springer-Verlag, New York, 1957, 1965.

8. Donald W. Crowe, The geometry of African art I. Bakuba art, J. Geometry, 1 (1971) 169-182.

9. , The geometry of African art II. A catalog of Benin patterns, Historia Mathematica, 2 (1975) 253-271.

10. Daniel S. Dye, A Grammar of Chinese Lattice, Harvard-Yenching Institute Monograph Series, vol. VI, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1937. (Reprinted as Chinese Lattice Designs, Dover, New York, 1974).

11. L. Fejes T6th, Regular Figures, Pergamon Press, New York, 1964.

12. Heinrich W. Guggenheimer, Plane Geometry and Its Groups, Holden-Day, San Francisco, 1967.

13. N. F. M. Henry and K. Lonsdale, International Tables for X-Ray Crystallography, vol. 1, Kynoch Press, Birmingham, England, 1952.

14. Owen Jones, The Grammar of Ornament, Van Nostrand, Reinhold, N.Y., 1972. (Reproduction of same title, first published in 1856, reprinted in 1910 and 1928.)

15. Caroline H. MacGillavry, Symmetry Aspects of M. C. Escher's Periodic Drawings, Utrecht, Netherlands, 1965. (New edition is Fantasy and Symmetry, the Periodic Drawings of M. C. Escher, Harry Abrams, New York, 1976.)

16. Paul Niggli, Die Flachensymmetrien homogener Diskontinuen, Z. fur Kristallographie, 60 (1924) 283-298.

17. P. G. O'Daffer and S. R. Clemens, Geometry: An Investigative Approach, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1976.

18. G. P6lya, Uber die&Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene, Z. fir Kristallographie, 60 (1924) 278-282.

19. Anna 0. Shepard, Ceramics for the Archaeologist, Publication 609, Carnegie Institute of Washington, D.C., 1956.

20. A. V. Shubnikov and V. A. Koptsik, Symmetry in Science and Art, Plenum Press, New York, 1974.

21. Andreas Speiser, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Springer, Berlin, 1927, 1937 (Dover, New York, 1943), Birkhiuser, Basel, 1956.

22. A. F. Wells, The Third Dimension in Chemistry, Oxford University Press, New York 1956, 1962.

23 DORIS SCHATTSCHNEIDER, THE PLANE SYMMETRY GROUPS: THEIR RECOGNMTION AND NOTATION

青山不改，绿水长流，在下告退。

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